Si nous n`avions pas, nous aurions toutes sortes de problèmes avec ce logarithme. Toute aide est grandement Bienvenue. Dans ce cas, depuis (x < 0 ), nous allons obtenir (eta > 0 ). Avec la solution à cet exemple, nous pouvons maintenant voir pourquoi nous avons requis (x > 0 ). L`intégration vous obtenez $ $ ln (1 + y) = frac{x ^ 2} {2} + c, $ $ par conséquent, $ $1 + y = e ^ {ln (1 + y)} = e ^ {frac{x ^ 2} {2}} e ^ {c}. C`est un problème car nous ne voulons pas de solutions complexes, nous voulons seulement de vraies solutions. Si nous prenons la première racine, nous aurons la solution suivante. Vous devez utiliser l`état de la Cauchy pour trouver la solution de l`équation (si $x = $1 puis $y = $2): $ $2 = e ^ {frac{1}{2}} cdot e ^ c-1 Longrightarrow e ^ c = 3e ^ {-frac{1}{2}}. Toutefois, en raison de la (x ) dans le dénominateur aucun de ceux-ci aura une série Taylor autour de ({X_0} = 0 ) et donc ({X_0} = 0 ) est un point singulier. La seule solution de votre problème Cauchy est $ $y (x) = 3 e ^ {frac{x ^ 2} {2}-frac{1}{2}}-1. Ainsi, les solutions seront de la forme (eqref{EQ: EQ2} ) fourni (r ) est une solution à (eqref{EQ: EQ3} ). Il n`y a vraiment pas beaucoup à faire dans ce cas. Pour trouver les constantes que nous différencions et de brancher dans les conditions initiales que nous avons fait revenir dans le deuxième ordre des équations différentielles chapitre.

Ce cas conduira au même problème que nous avons eu chaque fois que nous avons couru dans les racines doubles (ou les valeurs propres doubles). Nous devrions maintenant parler de la façon de traiter avec (x < 0 ) puisque c`est une possibilité à l`occasion. une Fois de plus, nous pouvons voir pourquoi nous avons besoin d`exiger (x > 0 ). Nous allons également revenir à (x ) `s en utilisant la transformation variable en sens inverse. Exemple 4 recherchez la solution à l`équation différentielle suivante sur n`importe quel intervalle ne contenant pas (x =-6 ). Cependant, il est possible d`obtenir des solutions à cette équation différentielle qui ne sont pas des solutions de série. C`est possible d`être $y $ countinprécaire. Notez que nous avons encore besoin d`éviter (x = 0 ) puisque nous pourrions toujours obtenir la division par zéro.

Quoi qu`il en soit, je pense que la séparation des variables est la meilleure façon de le résoudre (cela devrait être la même chose que vous avez essayé, je suppose:D): $ $y` = (y + 1) x $ $ $ $ frac{y`} {y + 1} = x $ $ et formellement, $ $ frac{dy}{y + 1} = x DX Nous pouvons faire de même pour les deux autres cas et les solutions suivantes pour n`importe quel intervalle ne contenant pas (x = 0 ). Nous pouvons faire une généralisation de plus avant de travailler un exemple de plus. Le travail pour générer les solutions dans ce cas est identique à tous les travaux ci-dessus et n`est donc pas montré ici. Cette équation est un quadratique dans (r ) et nous allons donc avoir trois cas à examiner: racines réelles, distinctes, racines doubles et racines complexes. Les équations Cauchy et j`essaie de résoudre un exercice, en prenant les exemples de mes notes de classe. En d`autres termes, depuis (eta > 0 ), nous pouvons utiliser le travail ci-dessus pour obtenir des solutions à cette équation différentielle. Ainsi, la méthode de la section précédente ne fonctionnera pas car elle exigeait un point ordinaire. Toutefois, il s`agit maintenant d`une solution pour tout intervalle qui ne contient pas (x = 0 ). Ai-je fait averything correctement jusqu`à ce point? Notez que le passage dans lequel nous avons divisé par $1 + y $ est justifié par le fait que nous résolvent dans un voisinage de $x _ 0 = $1, où $1 + y neq $0. Notez que nous avons dû utiliser la formule d`Euler aussi bien pour arriver à l`étape finale.